Gulliver en el país de la geometría

Por Claudio H. Sánchez (*)

El libro "Los viajes de Gulliver", del inglés Jonathan Swift, consiste en la crónica de cuatro viajes que el protagonista realiza a otros tantos países imaginarios. El más conocido de estos países es Liliput, habitado por seres humanos de aspecto normal pero de solo quince centímetros de altura.

Las historias con personajes a escala reducida forman un subgénero dentro de la literatura fantástica y se han hecho especialmente populares a través del cine, con títulos como "El increíble hombre menguante"(1957), "Viaje fantástico" (1966), "Querida, encogí a los niños" (1989) y la propia "Los viajes de Gulliver" (2016). Y a la hora de imaginar situaciones verosímiles, autores y guionistas tropiezan con las limitaciones de la llamada "Ley cuadrado-cúbica", enunciada por Galileo Galilei en siglo XVII.

Para entender qué es esta ley cuadrado-cúbica imaginemos un cubo de un metro de lado. Este cubo tendrá caras de un metro cuadrado de superficie y un volumen total de un metro cúbico. Ahora consideremos otro cubo, pero de dos metros de lado. Cada cara de este segundo cubo tendrá una superficie de 2 x 2 = cuatro metros cuadrados y un volumen de 2 x 2 x 2 = ocho metros cúbicos. Es decir que, cuando aumenta el tamaño del cubo, el volumen aumenta más que la superficie. Lo mismo vale al revés: al reducir el tamaño del cubo, el volumen disminuye más que la superficie. En general, cuando el lado del cubo se multiplica por un factor N, la superficie de las caras se multiplica por ese mismo factor, elevado al cuadrado y el volumen se multiplica por ese factor, elevado al cubo. Por eso se llama "ley cuadrado-cúbica".

Esto que vale para un cubo vale para cualquier cuerpo que cambie su tamaño pero mantenga su forma. Como una esfera, un cilindro o un cuerpo humano. Con quince centímetros de altura los liliputienses miden unas doce veces menos que una persona normal. Eso significa que la superficie de su piel es 12 x 12 = 144 veces menor a la de una persona normal y, su volumen, 12 x 12 x 12 =1728 veces menor.

Podría pensarse que esto es irrelevante para los liliputienses porque ellos viven en un mundo a su medida: miden doce veces menos que nosotros pero viven en casas doce veces más chicas que las nuestras, están rodeados de árboles y animales doce veces más chicos y así sucesivamente. Sin embargo la ley cuadrado-cúbica hace que algunas condiciones de vida no se conserven ante los cambios de escala.

Por ejemplo, los alimentos que consumimos regularmente se usan, entre otras cosas, para generar calor y mantener nuestra temperatura corporal, compensando el calor que perdemos a través de la superficie de la piel. Si un liliputiense mide doce veces menos que una persona normal, su volumen es 12 x 12 x 12 = 1728 veces menor que el de una persona normal. Su estómago es 1728 veces menor que el de una persona normal y come 1728 veces menos que una persona normal, lo que genera 1728 veces menos calor. Pero la superficie de su piel es 12 x 12 = 144 veces menor. Es decir que la cantidad de calor que genera su cuerpo disminuye mucho más que el calor que escapa a través de su piel. En relación a su tamaño, el organismo de un liliputiense genera poco calor y pierde mucho. Para poder mantener su temperatura corporal, los liliputienses deberían usar ropa muy abrigada, comer alimentos con un alto contenido de calorías y hacerlo varias veces al día.

Este efecto se observa en la naturaleza. Por ejemplo, las musarañas son unos mamíferos de apenas unos pocos centímetros de longitud. Desde el punto de vista de la conservación del calor, las musarañas están en las mismas condiciones que los liliputienses. Deben comer su peso en alimento diariamente y, si no pueden hacerlo, mueren de hambre y frío en pocas horas.

Otro de los países que visita Gulliver en sus viajes es Brobdingnag, habitado por gigantes que miden doce veces más que una persona normal. Estos gigantes también sufren las limitaciones impuestas por la ley cuadrado-cúbica.

El peso de una persona depende de su volumen. La fuerza que pueden ejercer y soportar depende la superficie transversal de sus músculos y huesos. Los gigantes de Brobdingnag pesan 1728 veces más que una persona normal pero la superficie de sus músculos y la fuerza que pueden hacer es solamente 144 veces mayor. En esas condiciones, los gigantes no podrían sostenerse a sí mismos y caerían bajo su propio peso.

Galileo discute estas cuestiones en su libro "Diálogos sobre dos nuevas ciencias", publicado en 1638. Dice, por ejemplo, que "los animales más pequeños son proporcionalmente más robustos que los más grandes" y que "un perro pequeño podría llevar sobre sí dos o tres perros iguales a él, mientras que un caballo no podrá sostener siquiera un caballo de sus mismas medidas".

También analiza el caso de las ballenas que, a pesar de su gran tamaño, pueden sostenerse porque viven en el agua y flotan sin depender de la fuerza de sus músculos. Cuando una ballena queda varada en la playa no tiene la fuerza suficiente para arrastrarse de regreso al mar y muere aplastada por su propio peso.

La ley cuadrado-cúbica no afecta solamente a los seres vivos. A principios del siglo XX el matemático y astrónomo norteamericano Simon Newcomb publicó una serie de artículos en los que discutía la posibilidad de volar en máquinas más pesadas que el aire. La fuerza que hace que un avión levante vuelo y se sostenga en el aire depende, entre otras cosas, de la superficie de las alas. Un avión suficientemente grande como para llevar pasajeros a bordo sería tan pesado que necesitaría alas de gran superficie para poder volar. Pero la ley cuadrado-cúbica enseña que un aumento en la superficie de las alas lleva asociado un aumento mucho mayor en su volumen y peso. Según Newcomb, la posibilidad de disponer de máquinas voladoras más pesadas que el aire dependería del desarrollo de materiales más livianos y motores más compactos y eficientes. Lo que, especulaba, tal vez no ocurra nunca.

El último de los artículos de Newcomb en este sentido fue publicado en octubre de 1903, sólo dos meses antes del vuelo de los hermanos Wright.

(*) Docente y divulgador científico